Applications of Continuous Fractions in Orthogonal Polynomials

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Ana Cláudia Marassá Roza Boso
Luís Roberto Almeida Gabriel Filho
Camila Pires Cremasco Gabriel
Bruno César Góes
Fernando Ferrari Putti

Abstract

Several applications of continuous fractions are restricted to theoretical studies, such as problems associated with the approximation of functions, determination of rational and irrational numbers, applications in physics in determining the resistance of electric circuits and integral equations and in several other areas of mathematics. This work aimed to study the results that open the way for the connection of continuous fractions with the orthogonal polynomials. As support, we will study the general case, where the applications of the Wallis formulas in a monolithic orthogonal polynomial, which generates a continuous fraction of the Jacobi type. It will be allowed applications with relations of recurrence of three terms in the polynomials of Tchebyshev and Legendre, through the results found, establishing connection between them with the continuous fractions. And finally, will be presented the "Number of gold", that is an application of this theory.

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How to Cite
Boso, A. C. M. R., Gabriel Filho, L. R. A., Gabriel, C. P. C., Góes, B. C., & Putti, F. F. (2018). Applications of Continuous Fractions in Orthogonal Polynomials. International Journal for Innovation Education and Research, 6(12), 284-295. https://doi.org/10.31686/ijier.Vol6.Iss12.1245
Section
Articles
Author Biographies

Ana Cláudia Marassá Roza Boso, Master in Irrigation and Drainage, Faculty of Agronomic Sciences - UNESP, Botucatu Campus

Department of Agronomy, Irrigation and Drainage, Univ. State University of São Paulo - UNESP, Botucatu, Sao Paulo, Brazil

Luís Roberto Almeida Gabriel Filho, Professor at the State University of São Paulo - UNESP

Department of Applied Mathematics, Univ. State University of São Paulo - UNESP, Tupã, Sao Paulo, Brazil

Camila Pires Cremasco Gabriel, Professor at the State University of São Paulo - UNESP

Department of Biosystems Engineering, Univ. State University of São Paulo - UNESP, Tupã, Sao Paulo, Brazil

Bruno César Góes, Master's Degree in Agribusiness and Development, Faculty of Sciences and Engineering - UNESP, Campus de Tupã

Departamento de Matemática Aplicada, Univ. Universidade Estadual Paulista - UNESP, Tupã, São Paulo, Brasil

Fernando Ferrari Putti, Professor at the State University of São Paulo - UNESP

Department of Biosystems Engineering, Univ. State University of São Paulo - UNESP, Tupã, Sao Paulo, Brazil

References

[1] ANDRADE, E. X. L.; BRACCIALI, C. F. Frações contínuas: propriedades e aplicações. São Carlos: SBMAC, 2005. 93 p.
[2] ANDRADE, E. X. L.; BRACCIALI, C. F. Polinômios Ortogonais e Similares: Propriedades e Aplicações. Apostila Versão, v. 2, 2008.
[3] ARFKEN, G.; PAN, Y. K. Mathematical methods for physicists. American Journal of Physics, v. 39, n. 4, p. 461-461, 1971.
[4] AZEVEDO, N. C. O número de ouro e construções geométricas. 2013. 46 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2013. Disponível em:
[5] BISTAFFA, A. M. S. Polinômios Ortogonais e Frações Contínuas. ANAIS DO ENIC, v. 1, n. 4, 2015. Disponível em:
[6] BONFIM, D. D. Frações contínuas com aplicações. 2014. 75f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT) – Universidade Federal do Tocantins, Palmas. 2014. Disponível em:
[7] BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da matemática. [rev.]. São Paulo: Edgard Blücher LTDA, 1996.
[8] BUTKOV, E. Mathematical Physics. Estados Unidos: Addison Wesley, 1968. 735p.
[9] FERRER, J. V. O número de ouro na arte, arquitetura e natureza: beleza e harmonia. 2005. Disponível em:
[10] HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção: um Ensaio sobre a Beleza na Matemática. Brasília: Universidade de Brasília, 1985. 178p.
[11] JÚNIOR, D. P. F.; LIMA, F. M. S. Usando frações continuas para resolver um problema de eletricidade de forma criativa. Física na Escola, v. 7, n. 1, p. 26-29, 2006. Disponível em:
[12] LIMA, M. A. F. Frações contínuas que correspondem a séries de potências em dois pontos. 2010. 71 f. Dissertação (mestrado) - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto. 2010. Disponível em: .
[13] LIVIO, M. The golden ratio: The story of phi, the world's most astonishing number. New York: Broadway Books, 2008. 293p.
[14] MARTINS, A. S. Interpretação eletrostática e zeros de polinômios. 2005. 78 f. Dissertação (mestrado) - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto. 2005. Disponível em: .
[15] MELLO, M. V. Zeros de Polinômios Ortogonais de Sobolev-Jacobi e Sobolev-Laguerre. 2008. 95 f. Dissertação (mestrado) - Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, São José do Rio Preto. 2008. Disponível em:
[16] MINAYO, M. C. S. O desafio do conhecimento: pesquisas qualitativas em saúde. 9 ed. São Paulo: Hucitec; 2006. 406 p.
[17] NASCIMENTO, A. M. Frações contínuas e aplicações no ensino médio. 2013. 66 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) – Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2013. Disponível em: < http://repositorio.bc.ufg.br/tede/handle/tede/3678>
[18] NODARSE, R. A. Polinomios hipergeométricos clásicos y q-polinomios. Universidad de Zaragoza, 2003.
[19] PACCI, D. C.; RODRIGUES, C. T. Sequência de Fibonacci. Universidade Estadual de Campinas – Instituto de Matemática e Estatística (IME), 2013. Disponível em:
[20] PADOVAN; R. Proportion. New York: Taylor and Francis. 1999. 400p.
[21] PAIXÃO, J. C. Fracções contínuas no ensino pré-universitário. 2011. 73 f. Dissertação (Mestrado em matemática para professores) – Instituto de Ciências e Matemática, Universidade de Lisboa, Lisboa, 2011. Disponível em:
[22] PERSAUD-SHARMA, D.; O'LEARY, J. P. Fibonacci Series, Golden Proportions, and the Human Biology. Austin J Surg. v. 2, n. 5, p. 1 – 7, 2015. Disponível em:
[23] SZEGO, G. Orthogonal polynomials. 4. ed. In: Colloquium publications/American mathematical society. Providence: [s.n.], v. 23. 1975.
[24] XIE, Z. The golden ratio and super central configurations of the n-body problem. Journal of Differential Equations, v. 251, n. 1, p. 58-72, 2011. Disponível em: < http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039611001094>